University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md

Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства

Введение

Абсолютно сходящиеся ряды — это ряды, для которых ряд из абсолютных значений их членов сходится. Абсолютная сходимость является более сильным свойством по сравнению с обычной сходимостью и имеет ряд важных свойств.

Абсолютной сходимости

Ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_n называется абсолютно сходящимся, если ряд \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| сходится.

Свойства абсолютно сходящихся рядов

1. Абсолютная сходимость влечет за собой обычную сходимость

Если ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_n абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. Это следует из 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7#^446f33 о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

2. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда

Если ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_n абсолютно сходится, то любая перестановка его членов также сходится и имеет ту же сумму. Это свойство не выполняется для условно сходящихся рядов (рядов, которые сходятся, но не абсолютно).

3. Линейность абсолютной сходимости

Если ряды \sum\limits_{n=1}^\infty a_n и \sum\limits_{n=1}^\infty b_n абсолютно сходятся, то их линейная комбинация \sum\limits_{n=1}^\infty (\alpha a_n + \beta b_n) также абсолютно сходится для любых констант \alpha и \beta.

4. Произведение абсолютно сходящихся рядов

Если ряды \sum\limits_{n=1}^\infty a_n и \sum\limits_{n=1}^\infty b_n абсолютно сходятся, то их произведение \sum\limits_{n=1}^\infty c_n, где c_n = \sum\limits_{k=1}^n {a_k b_{n-k}}, также абсолютно сходится.

Примеры

1. \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}} Ряд из абсолютных значений \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} сходится, так как это 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233 с p=2>1. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}} абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.

2. \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n} Ряд из абсолютных значений \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n расходится, так как это 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^ab323a. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n} не является абсолютно сходящимся, но он сходится по 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница.