2.2 KiB
Замена переменных в неопределенном интеграле
Основные принципы замены переменных
Пусть дано выражение неопределенного интеграла \int f(x) \, dx. Целью замены переменных является нахождение такой функции \varphi(t) и такого интервала [a, b], что выполняются следующие условия:
a) \varphi(t) дифференцируема на [a, b];
b) f(x) непрерывна на \varphi([a, b]);
c) \int f(x) \, dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt.
При этом новая переменная t вводится соотношением x = \varphi(t), а дифференциал dx выражается через dt следующим образом: dx = \varphi'(t) dt.
Правило замены переменных
Правило замены переменных в неопределенном интеграле формулируется следующим образом:
\int f(x) \, dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt + C,
где C - произвольная постоянная.
Примеры замены переменных
Рассмотрим несколько примеров замены переменных в неопределенных интегралах.
Пример 1. Вычислить интеграл \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx.
Решение. Заменим переменную x = \sin t, тогда dx = \cos t \, dt и
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int \frac{\sin t}{\sqrt{1 - \sin^2 t}} \cos t \, dt = \int \cos t \, dt = \sin t + C = \sqrt{1 - x^2} + C.
Пример 2. Вычислить интеграл \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx.
Решение. Заменим переменную x = tg(t), тогда dx = \frac{1}{\cos^2 t} \, dt и
\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{1}{1 + tg^2 (t)} \frac{1}{\cos^2 t} \, dt = \int \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t + \cos^2 t} \frac{1}{\cos^2 t} \, dt = \int \frac{1}{\cos^2 t} \, dt = tg(t) + C = x + C.