University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md

Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.

Определение

Пусть z = f(x, y) - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Формула Тейлора для функции f(x, y) в точке (x_0, y_0) с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид:

f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})

Здесь f'_x(x_0, y_0) и f'_y(x_0, y_0) - частные производные функции f(x, y) по переменным x и y соответственно в точке (x_0, y_0), o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) - остаточный член в форме Пеано.

[!Замечание] Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция \alpha(x, y), что:

o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot\alpha(x, y)

причем \alpha(x, y) \rightarrow 0 при (x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0).

Свойства

1. Линейность:

     kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y)
   

     f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y)
   

2. Произведение функций:

     f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)
   

     f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)
   

3. Частное функций:

     left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)}
   

     left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)}
   

4. Связь между частными производными и дифференциалами:

     f = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy
   

5. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано:

     (x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
   

Примеры

1. Найти частные производные первого порядка и дифференциал функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2). Решение:

   Найдем частные производные первого порядка функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2:

     '_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
   

   Подставим значения x = 1 и y = 2:

     '_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
   

   Найдем дифференциал функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2):

     f = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy
   

   Ответ: f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy.

2. Найти приближенное значение функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1,1, 2, 201) с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Решение:

   Воспользуемся формулой Тейлора для функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 1):

     (x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2})
   

   Найдем значения функции и частных производных в точке (1, 1):

     (1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4
   

     '_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5
   

     '_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7
   

   Подставим значения x = 2,01 и y = 2,02:

     (2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13
   

   Ответ: f(2,01, 2,02) \approx 25,13.