University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md

Уравнение касательной плоскости к поверхности

Определение

Пусть z = f(x, y) - поверхность, заданная в некоторой окрестности точки (x_0, y_0, z_0), где z_0 = f(x_0, y_0). Касательной плоскостью к поверхности z = f(x, y) в точке (x_0, y_0, z_0) называется плоскость, проходящая через точку (x_0, y_0, z_0) и имеющая направленный вектор, перпендикулярный вектору нормали к поверхности z = f(x, y) в точке (x_0, y_0, z_0).

Вектор нормали к поверхности z = f(x, y) в точке (x_0, y_0, z_0) можно найти по формуле:

\mathbf{n} = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0), -1\right)

Уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) в точке (x_0, y_0, z_0) можно записать в следующем виде:

(x - x_0)f'_x(x_0, y_0) + (y - y_0)f'_y(x_0, y_0) - (z - z_0) = 0

Примеры

1. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности z = x^2 + y^2 в точке (1, 2, 5). Решение:

   Найдем частные производные функции z = x^2 + y^2:

     '_x(x, y) = 2x, \quad f'_y(x, y) = 2y
   

   Подставим значения x = 1 и y = 2:

     '_x(1, 2) = 2, \quad f'_y(1, 2) = 4
   

   Найдем вектор нормали к поверхности z = x^2 + y^2 в точке (1, 2, 5):

     mathbf{n} = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2), -1\right) = \left(2, 4, -1\right)
   

   Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности z = x^2 + y^2 в точке (1, 2, 5):

     x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot 4 - (z - 5) = 0
   

   Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:

     x + 4y - z = 3
   

   Ответ: 2x + 4y - z = 3.

2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности z = \sin(x + y) в точке (\pi/4, \pi/4, 1). Решение:

   Найдем частные производные функции z = \sin(x + y):

     '_x(x, y) = \cos(x + y), \quad f'_y(x, y) = \cos(x + y)
   

   Подставим значения x = \pi/4 и y = \pi/4:

     '_x(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0, \quad f'_y(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0
   

   Заметим, что частные производные функции z = \sin(x + y) в точке (\pi/4, \pi/4, 1) равны нулю. Это означает, что касательная плоскость к поверхности z = \sin(x + y) в точке (\pi/4, \pi/4, 1) горизонтальна.

   Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности z = \sin(x + y) в точке (\pi/4, \pi/4, 1):

      = 1
   

   Ответ: z = 1.