From b31458ce55ec50a6861eed87991203b5bbf95c50 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Sweetbread Date: Wed, 19 Jun 2024 10:16:12 +0300 Subject: [PATCH] Add cheatsheet --- .gitignore | 4 ++ .obsidian/community-plugins.json | 3 +- .obsidian/plugins/obsidian-git/data.json | 58 +++++++++++++++++ .obsidian/workspace.json | 49 +++++++-------- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/10.md | 27 ++++++++ 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md | 51 +++++++++++++++ 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md | 62 +++++++++++++++++++ 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/13.md | 17 +++++ 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md | 9 ++- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md | 2 +- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md | 2 +- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md | 11 ++-- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md | 13 ++-- .../2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-06.md | 4 -- .../2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-07.md | 4 -- .../2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-08.md | 4 -- 16 files changed, 265 insertions(+), 55 deletions(-) create mode 100644 .gitignore create mode 100644 .obsidian/plugins/obsidian-git/data.json create mode 100644 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/10.md create mode 100644 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md create mode 100644 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md create mode 100644 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/13.md delete mode 100644 1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-06.md delete mode 100644 1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-07.md delete mode 100644 1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-08.md diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..bb7b1de --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,4 @@ +.trash +.obsidian/workspace.json +.obsidian/workspace-mobile.json +.obsidian/graph.json diff --git a/.obsidian/community-plugins.json b/.obsidian/community-plugins.json index 7be3722..01b6642 100644 --- a/.obsidian/community-plugins.json +++ b/.obsidian/community-plugins.json @@ -1,3 +1,4 @@ [ - "webpage-html-export" + "webpage-html-export", + "obsidian-git" ] \ No newline at end of file diff --git a/.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json b/.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json new file mode 100644 index 0000000..0e15941 --- /dev/null +++ b/.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json @@ -0,0 +1,58 @@ +{ + "commitMessage": "vault backup: {{date}}", + "commitDateFormat": "YYYY-MM-DD HH:mm:ss", + "autoSaveInterval": 0, + "autoPushInterval": 0, + "autoPullInterval": 0, + "autoPullOnBoot": true, + "disablePush": false, + "pullBeforePush": true, + "disablePopups": false, + "disablePopupsForNoChanges": false, + "listChangedFilesInMessageBody": false, + "showStatusBar": true, + "updateSubmodules": false, + "syncMethod": "merge", + "customMessageOnAutoBackup": false, + "autoBackupAfterFileChange": false, + "treeStructure": false, + "refreshSourceControl": true, + "basePath": "", + "differentIntervalCommitAndPush": false, + "changedFilesInStatusBar": false, + "showedMobileNotice": true, + "refreshSourceControlTimer": 7000, + "showBranchStatusBar": true, + "setLastSaveToLastCommit": false, + "submoduleRecurseCheckout": false, + "gitDir": "", + "showFileMenu": true, + "authorInHistoryView": "hide", + "dateInHistoryView": false, + "lineAuthor": { + "show": false, + "followMovement": "inactive", + "authorDisplay": "initials", + "showCommitHash": false, + "dateTimeFormatOptions": "date", + "dateTimeFormatCustomString": "YYYY-MM-DD HH:mm", + "dateTimeTimezone": "viewer-local", + "coloringMaxAge": "1y", + "colorNew": { + "r": 255, + "g": 150, + "b": 150 + }, + "colorOld": { + "r": 120, + "g": 160, + "b": 255 + }, + "textColorCss": "var(--text-muted)", + "ignoreWhitespace": false, + "gutterSpacingFallbackLength": 5, + "lastShownAuthorDisplay": "initials", + "lastShownDateTimeFormatOptions": "date" + }, + "autoCommitMessage": "vault backup: {{date}}" +} \ No newline at end of file diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index ec29daf..22b90c2 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -13,9 +13,9 @@ "state": { "type": "markdown", "state": { - "file": "1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md", + "file": "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md", "mode": "source", - "source": true + "source": false } } } @@ -85,7 +85,7 @@ "state": { "type": "backlink", "state": { - "file": "1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md", + "file": "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md", "collapseAll": false, "extraContext": false, "sortOrder": "alphabetical", @@ -102,7 +102,7 @@ "state": { "type": "outgoing-link", "state": { - "file": "1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md", + "file": "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md", "linksCollapsed": false, "unlinkedCollapsed": true } @@ -125,16 +125,16 @@ "state": { "type": "outline", "state": { - "file": "1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md" + "file": "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md" } } } - ] + ], + "currentTab": 3 } ], "direction": "horizontal", - "width": 300, - "collapsed": true + "width": 300 }, "left-ribbon": { "hiddenItems": { @@ -149,8 +149,23 @@ }, "active": "9054f9453109888b", "lastOpenFiles": [ - "1 курс/2 семестр/Вышмат/Вопросы.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/1.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/10.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/5.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Вопросы.md", "1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md", + "1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14.md", + "1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-08.md", + "1 курс/2 семестр/Вышмат/Вопросы.md", "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/7.md", "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/6.md", "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/5.md", @@ -158,25 +173,9 @@ "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/3.md", "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/2.md", "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/1.md", - "1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/1.md", - "1 курс/2 семестр/Дискретка/Вопросы.md", "1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел", "1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты", "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/31.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/30.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/29.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/28.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/27.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/26.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/25.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/24.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/23.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/21.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/20.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/19.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/18.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/17 !.md", - "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты/16.md", "1 курс/2 семестр/ЧМИ/Билеты", "1 курс/2 семестр/ЧМИ/9-10", "1 курс/2 семестр/ЧМИ/7-8", diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/10.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/10.md new file mode 100644 index 0000000..9d2cdd1 --- /dev/null +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/10.md @@ -0,0 +1,27 @@ +> Функции, сохраняющие константы. Замкнутость классов $𝑇_0$, $𝑇_1$ + +# Функции, сохраняющие константы +## Функции, сохраняющие 0 +Функция сохраняет константу 0, если $f(0, 0, \dots, 0) = 0$ и обозначается $T_0$ + +###### Теорема. Класс $T_0$ замкнут +Достаточно доказать, что при применении операций переименования переменных и подстановки к функциям из класса получается функция из этого же класса. + +Для переименования это очевидно. + +Рассмотрим операцию подстановки. Пусть +$𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_𝑛) \in 𝑇_0$ и $𝑔(𝑦_1, 𝑦_2, \dots, 𝑦_𝑚) \in 𝑇_0$. Рассмотрим функцию ℎ, полученную в результате подстановки 𝑔 в 𝑓 вместо $𝑥_𝑘$: $ℎ = 𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_{𝑘−1}, 𝑔(𝑦_1, 𝑦_2, \dots, 𝑦_𝑚), 𝑥_{𝑘+1}, \dots, 𝑥_𝑛)$ + +Доказательство одинаковое при любом 𝑘, поэтому, не +теряя общности, положим $𝑘 = 𝑛$: $h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$ + +Отметим, что некоторые из $𝑦_1, 𝑦_2, \dots, 𝑦_𝑛$ могут совпадать с некоторыми из $𝑥_1, 𝑥_2, \dots 𝑥_{𝑛−1}$, то есть фактически ℎ может зависеть от меньшего числа переменных. + +Подставляя нулевые значения, получаем $ℎ(0, 0, \dots, 0) = 𝑓(0, \dots, 0, 𝑔 (0, 0, \dots, 0)) = 𝑓(0,0, \dots, 0) = 0 \Rightarrow ℎ \in 𝑇_0$. + +Если функция сохраняет 0, то определяется своими значениями на всех наборах значений переменных, кроме набора $(0, 0, \dots, 0)$, т.е. $2^n - 1$. Следовательно, число функций, сохраняющих 0 - $2^{2^n - 1}$ + +Функция сохраняет константу 1, если $f(1, 1, \dots, 1) = 1$ и обозначается $T_1$ + +###### Теорема. Класс $T_1$ замкнут +Доказательство аналогичное \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md new file mode 100644 index 0000000..01932b0 --- /dev/null +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md @@ -0,0 +1,51 @@ + Двойственная функция. Принцип двойственности. Самодвойственные функции. Замкнутость класса 𝑆. Лемма о несамодвойственной функции + +# Двойственная функция +**Двойственная функция** $f^*$ - $f^*(x_1, x_2, \dots, x_n) = \overline{f(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n})}$ +$(f^*)^* = f$ + +Примеры: +- $0^* = 1$ +- $x^* = x$ +- $\bar x^* = \bar x$ +- $(xy)^* = x \vee y$ +- $(x \oplus y)^* = x \equiv y$ +- $(x|y)^* = x \downarrow y$ +- $(x \rightarrow y)^* = y > x$ + +# Принцип двойственности +## Теорема +Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) и g(y_1, y_2, \dots, y_m)$ - логические функции и $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$ +Тогда $h^* = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$ +## Доказательство +НУО $k = n$: $h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$ + +По определению двойственности, $h^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = \overline{h(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, \overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m})} = \overline{f(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, g(\overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m}))}$ +$g(\overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m}) = \overline{g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)}$, поэтому $h^* = \overline{f\left(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, \overline{g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)}\right)} = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m))$ + +## Следствие +> Пусть функция 𝑓 представлена некоторой формулой/схемой. Чтобы получить формулу/схему, представляющую функцию $𝑓^∗$, нужно заменить в формуле все операции и константы / функциональные элементы на двойственные им. + + +# Самодвойственные функции +**Самодвойственная функция** (класс S) - $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = f^*(x_1, x_2, \dots, x_n)$ +Не существует самодвойственных функций, существенно зависящих от 2х переменных + +# Замкнутость класса 𝑆 +## Теорема +Класс S замкнут +## Доказательство +Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in S$ и $g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in S$ +Рассмотрим $h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$ +Из принципа двойственности, $h^* = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m)) = h$, следовательно, $h \in S$ + +# Лемма о несамодвойственной функции +Если функция f несамодвойственна, то константы являются суперпозицией функций $f$ и $\bar x$. Т.е. если $f \notin S$, то ${0,1} \subseteq [\{f, \bar x\}]$ +## Доказательство +Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin S$. Тогда существует такой набор $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$, что $f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = f(\bar\alpha_1, \bar\alpha_2, \dots, \bar\alpha_n) = c \in \{0,1\}$ ([[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Разложение функции по переменной|Разложение по переменной]]) + +$h(x) = f(x^{\alpha_1}, x^{\alpha_2}, \dots, x^{\alpha_n})$ +$h(0) = f(0^{\alpha_1}, 0^{\alpha_2}, \dots, 0^{\alpha_n}) = f(\bar\alpha_1, \bar\alpha_2, \dots, \bar\alpha_n) = c$ +$h(1) = f(1^{\alpha_1}, 1^{\alpha_2}, \dots, 1^{\alpha_n}) = f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = c$ + +Следовательно, $h(x) = c$, $\overline{h(x)} = \bar c$ \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md new file mode 100644 index 0000000..7193ed8 --- /dev/null +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md @@ -0,0 +1,62 @@ +> Покомпонентный порядок. Монотонные функции. Замкнутость класса 𝑀. Лемма о немонотонной функции + +# Покомпонентный порядок +**Покомпонентно меньше или равно** ($\preceq$) - $a \preceq b \Leftrightarrow \forall i \in \overline{1..n}: a_i \le b_i$ - отношение порядка (рефлексивно, антисимметрично и транзитивно) + +Диаграмма Хассе упорядоченного множества наборов длины 3 по отношению $\preceq$. +```mermaid +flowchart TD + 1,1,1 --> 0,1,1 + 1,1,1 --> 1,0,1 + 1,1,1 --> 1,1,0 + + 1,1,0 --> 1,0,0 + 1,0,1 --> 1,0,0 --> 0,0,0 + + 1,1,0 --> 0,1,0 + 0,1,1 --> 0,1,0 --> 0,0,0 + + 1,0,1 --> 0,0,1 + 0,1,1 --> 0,0,1 --> 0,0,0 +``` + +# Монотонные функции +**Монотонная функция** (класс М) - $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$, если $f(\tilde a) \le f(\tilde b)$ для любых $\tilde a \preceq \tilde b$ + +# Замкнутость класса 𝑀 +## Теорема +Класс M замкнут +## Доказательство +Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in M$ и $g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in M$ +Рассмотрим $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$ +Тогда $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$ + +Возьмём 2 набора значений переменных функции h: $(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m)$ и $(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$ такие, что $(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) \preceq (\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$ + +Обозначим $\gamma^` = g(\beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m), \gamma^{``} = g(\beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$ + +Тогда $y^` \le y^{``}$ и $(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`) \preceq (\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})$, а раз $f \in M$, $f(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`) \le f(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})$ + +Заметим, что +$h(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) = f(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`)$ +$h(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m) = f(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})$ + +Т.е. $h(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) \le h(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$ +Так что $h \in M$ + +# Лемма о немонотонной функции +## Лемма +Если функция 𝑓 немонотонна, то функция $\bar 𝑥$ является суперпозицией функций f, 0 и 1. То есть если $f \notin M$, то $\bar x \in [\{f, 0, 1\}]$. + +## Доказательство +Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin M$. Тогда существуют такие наборы значений переменных $\tilde\alpha$ и $\tilde\beta$, что $\tilde\alpha \prec^* \tilde\beta$ (соседние) и $f(\tilde\alpha) > f(\tilde\beta)$ (Т.е. $f(\tilde\alpha) = 1$ и $f(\tilde\beta) = 0$) + +Т.к. $\tilde\alpha \prec^* \tilde\beta$, то +$\tilde\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 0, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n)$ +$\tilde\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 1, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n)$ + +Введём функцию $h(x) = f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, x, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n)$ +$h(0) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 0, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n) = f(\tilde\alpha) = 1$ +$h(1) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 1, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n) = f(\tilde\alpha) = 0$ + +Следовательно, $h(x) = \bar x$ \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/13.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/13.md new file mode 100644 index 0000000..94ad596 --- /dev/null +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/13.md @@ -0,0 +1,17 @@ +# Теорема о сокращённой ДНФ монотонной функции +## Теорема +Функция является монотонной тогда и только тогда, когда её сокращённая ДНФ не содержит отрицаний. + +## Доказательство +Пусть f представлена [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2#ДНФ|ДНФ]], не содержащий отрицаний. Т.к. такая ДНФ содержит только операции $\vee$ и $\wedge$, то $f \in [\{\vee, \wedge\}]$. В свою очередь, $\{\vee, \wedge\} \subseteq M$ и $[\{\vee, \wedge\}] \subseteq M$ +Таким образом, $f \in M$ + +Теперь докажем, что если $f \in M$, то её [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4#Сокращённая ДНФ|сокр.ДНФ]] не содержит отрицаний: + +Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in M$. Рассмотрим простую [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4#Импликанта|импликанту]] A. Предположим, что A содержит отрицание. НУО, пусть $A = x^0_1 \cdot x^{\alpha_2}_2 \cdot x^{\alpha_3}_3 \dots x^{\alpha_k}_k$ + +Рассмотрим набор $\tilde\alpha = (0, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_k, 0, \dots, 0)$. Очевидно, $A(\tilde\alpha) = 1$. Т.к. A - импликанта f, то $f(\tilde\alpha_0) = 1$ + +Для любого набора $\tilde\beta = (1, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_k, \beta_{k+1}, \dots, \beta_n)$ выполняется $\tilde\alpha \preceq \tilde\beta$. Поскольку $f \in M$, то $f(\tilde\beta) = 1$. Итак, при любых $\beta_{k+1}, \dots, \beta_n$, любая элементарная конъюнкция $x^1_1 \cdot x^{\alpha_2}_2 \cdot x^{\alpha_3}_3 \dots x^{\alpha_k}_k \cdot x^{\beta_{k+1}}_{k+1} \dots x^{\beta_n}_n$ является импликантой f + +Склейкой по всем переменным $x_{k+1}, \dots, x_n$ получаем импликанту $A^` = x^1_1 \cdot x^{\alpha_2}_2 \cdot x^{\alpha_3}_3 \dots x^{\alpha_k}_k$. Тогда по свойству склейки, $A \vee A^` = x^{\alpha_2}_2 \cdot x^{\alpha_3}_3 \dots x^{\alpha_k}_k$ - тоже импликанта f. Но тогда A не является простой импликантой. Противоречие \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md index 23a29f2..e99d5d6 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md @@ -37,9 +37,12 @@ 6. Закон Блейка-Порецкого $x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$ $x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$ -# **Булева формула** +# Булева формула \- формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1 # Нормальные формы (ДНФ и КНФ) -- **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты -- **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 \cdot D_2 \cdot \dots \cdot D_m$, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции \ No newline at end of file +## ДНФ +**Дизъюнктивная нормальная форма** - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты + +## КНФ +**Конъюнктивная нормальная форма** - формула 1 или формула вида $D_1 \cdot D_2 \cdot \dots \cdot D_m$, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md index a816b3d..267c2b4 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md @@ -1,7 +1,7 @@ Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ. # Совершенные ДНФ и КНФ -- **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ) +- **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ) ^809b89 - **СКНФ** - КНФ, каждая дизъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (1 - тоже СКНФ) # Разложение функции по переменной $$ diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md index f6a3224..dad4bb9 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md @@ -28,7 +28,7 @@ f - логическая функция P(f) - её полином -- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Совершенные ДНФ и КНФ|СДНФ]]) +- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#^809b89|СДНФ]]) - В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$) - Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон - Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$) diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md index 416f297..7fc853b 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md @@ -1,10 +1,9 @@ Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации. # Ациклический орграф -**Ациклический орграф** - орграф без ориентированных циклов -**Монотонная нумерация** вершин графа - нумерация, при котором номер начальной вершины каждого ребра меньше номера конечной вершины - -**Полустепень исхода** ($deg^-(x)$) - число рёбер орграфа, выходящих из вершины x -**Полустепень захода** ($deg^+(x)$) - число рёбер, входящих в вершину x +- **Ациклический орграф** - орграф без ориентированных циклов +- **Монотонная нумерация** вершин графа - нумерация, при котором номер начальной вершины каждого ребра меньше номера конечной вершины +- **Полустепень исхода** ($deg^-(x)$) - число рёбер орграфа, выходящих из вершины x +- **Полустепень захода** ($deg^+(x)$) - число рёбер, входящих в вершину x ^3dbfa3 # Теорема о монотонной нумерации ###### Теорема @@ -16,4 +15,4 @@ Пусть $\exists$ вершина b так, что $(b,a) \in E$ , тогда вершина - не принадлежит P, иначе цикл -- имеет номер, иначе есть путь больше P \ No newline at end of file +- имеет номер, иначе есть путь больше P ^0f0cfe \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md index 193806a..02a9ec8 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md @@ -3,19 +3,20 @@ # Схемы из функциональных элементов **СФЭ** (Схема из функциональных элементов) - ациклический орграф, содержащий вершины двух типов: 1. **Входные** (источники) - к вершине приписан уникальный символ переменной -2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7#Ациклический орграф|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1 +2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7#^3dbfa3|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1 Для гейтов используется ограниченный набор функций: - **Стандартный** - $\wedge, \vee, \bar{}$ - **Базис Жегалкина** - $\oplus, \wedge, 1$ # Сложность и глубина схем -**Сложность схемы** - число гейтов в схеме -**Схемная сложность** функции ($L(f)$) - наименьшая сложность схемы, вычисляющий функцию -**$L(n)$** - наибольшая системная сложность функции от n переменных +- **Сложность схемы** - число гейтов в схеме +- **Схемная сложность** функции ($L(f)$) - наименьшая сложность схемы, вычисляющий функцию +- **$L(n)$** - наибольшая системная сложность функции от n переменных -> ![NOTE] +> [!Заметка] > $L(f)$ и $L(n)$ зависят от базиса +> -**Глубина схемы** - наибольшая длина ориентированного пути, с началом во входной вершине +- **Глубина схемы** - наибольшая длина ориентированного пути, с началом во входной вершине # Способы построения схем в стандартном базисе 1. Использование нормальных форм diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-06.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-06.md deleted file mode 100644 index cb899bc..0000000 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-06.md +++ /dev/null @@ -1,4 +0,0 @@ -1. [x] Логическая функция и способы её задания. Число логических функций. Существенные и фиктивные переменные. Основные операции алгебры логики. Логические формулы. Эквивалентность функций. Эквивалентность формул. -2. [x] Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ. -3. [ ] Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ. -4. [x] Импликанта логической функции. Свойство склейки. Сокращённая ДНФ. \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-07.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-07.md deleted file mode 100644 index 7f0d255..0000000 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-07.md +++ /dev/null @@ -1,4 +0,0 @@ -1. [x] Построение Сокращённой ДНФ. Метод «булева куба». Метод Квайна – Мак-Класки. Метод Нельсона. -2. [x] Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина. -3. [ ] Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации. -4. [ ] Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе. \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-08.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-08.md deleted file mode 100644 index 5aeb357..0000000 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-08.md +++ /dev/null @@ -1,4 +0,0 @@ -1. [x] Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации. -2. [x] Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе. -3. [ ] Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения. -4. [ ] Функции, сохраняющие константы. Замкнутость классов 𝑇0, 𝑇1. \ No newline at end of file