From 74046e1857b06dc9e054688dff5b8b1e958671f9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Kirill Date: Thu, 5 Dec 2024 20:29:15 +0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=D0=9D=D0=B0=D0=BF=D0=B8=D1=81=D0=B0=D0=BD=201?= =?UTF-8?q?=20=D1=80=D0=B0=D0=B7=D0=B4=D0=B5=D0=BB=20=D0=AD=D0=BA=D0=B7?= =?UTF-8?q?=D0=B0=D0=BC=D0=B5=D0=BD=D0=B0=20=D0=BF=D0=BE=20=D0=B2=D1=8B?= =?UTF-8?q?=D1=88=D0=BC=D0=B0=D1=82=D1=83=202=20=D0=BA=D1=83=D1=80=D1=81?= =?UTF-8?q?=201=20=D1=81=D0=B5=D0=BC=D0=B5=D1=81=D1=82=D1=80?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md | 33 ++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md | 50 +++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md | 45 ++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md | 45 ++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md | 62 +++++++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md | 60 ++++++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md | 61 ++++++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md | 47 ++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md | 45 ++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md | 61 ++++++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md | 62 +++++++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md | 54 ++++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md | 60 ++++++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md | 42 +++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md | 41 ++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md | 45 ++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md | 46 ++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md | 45 ++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md | 48 ++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md | 40 ++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md | 43 +++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md | 39 ++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md | 60 ++++++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md | 46 ++++++++++++++ 24 files changed, 1180 insertions(+) create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md new file mode 100644 index 0000000..7610f42 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md @@ -0,0 +1,33 @@ +# Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. + +## Числовые ряды + +Числовой ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: +$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ +где ($a_n$ ) — общий член ряда. + +## Общий член ряда + +Общий член ряда ( $a_n$ ) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда. Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как $( a_n = ar^n )$, где ( $a$ ) — первый член, а ( $r$ ) — отношение между последующими членами. + +## Сумма ряда + +Сумма ряда ( $S$ ) — это предел частичных сумм ( $S_n$ ): +$$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$ +где ( $S_n$ = $\sum_{k=1}^{n}a_k$). + +## Необходимое условие сходимости ряда + +Необходимое условие сходимости ряда заключается в том, что если ряд ( $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$) сходится, то его общий член ( $a_n$ ) должен стремиться к нулю при ( $n \to \infty$ ): + $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ + +Однако это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд ( $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ) расходится, несмотря на то, что его общий член ( $\frac{1}{n}$ ) стремится к нулю. +## Примеры + +1. **Геометрический ряд**: +$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ +Сходится, если ( $|r| < 1$ ). + +2. **Гармонический ряд**: +$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ +Расходится. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md new file mode 100644 index 0000000..e35c9ab --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md @@ -0,0 +1,50 @@ +# Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда. + +## Введение + +Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. Они играют важную роль в математике и её приложениях. + +## Функциональные ряды + +Функциональный ряд — это ряд вида: +$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ +где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$. + +## Частичная сумма и сумма функционального ряда + +Частичная сумма функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда: +$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ + +Сумма функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$: +$S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)$ + +## Сходимость функционального ряда + +Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ сходится в точке $x_0$, если существует конечный предел: +$\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)$ + +## Область сходимости функционального ряда + +Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек $x$, в которых ряд сходится. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек. + +## Признаки сходимости функциональных рядов + +### Признак Вейерштрасса + +Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда. + +#### Формулировка признака Вейерштрасса + +Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что: +$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$. + +Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$. + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$. + +Оценим $|f_n(x)|$: +$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$ + +Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md new file mode 100644 index 0000000..c351e45 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md @@ -0,0 +1,45 @@ +# Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда + +## Введение + +Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. + +## Равномерная сходимость функциональных рядов + +Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ называется равномерно сходящимся на множестве $D$, если для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство: +$|S(x)-S_n(x)|<\epsilon$ +где $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — сумма ряда, а $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ — частичная сумма ряда. + +## Связь между сходимостью и равномерной сходимостью + +Равномерная сходимость функционального ряда влечет за собой его обычную сходимость, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как непрерывность суммы ряда и возможность почленного интегрирования и дифференцирования. + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$. + +Оценим $|f_n(x)|$: +$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$ + +Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. + +## Признак Вейерштрасса + +Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда. + +### Формулировка признака Вейерштрасса + +Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что: +$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$. + +Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$. + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$. + +Оценим $|f_n(x)|$: +$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$ + +Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. + diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md new file mode 100644 index 0000000..2c8c921 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md @@ -0,0 +1,45 @@ +# Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда + +## Введение + +Признак Вейерштрасса является важным критерием для определения равномерной сходимости функциональных рядов. Он позволяет определить, сходится ли функциональный ряд равномерно на заданном множестве, основываясь на сходимости ряда из мажорант. + + **Мажоранта** (от majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точная верхняя и нижняя границы"). + +## Признак Вейерштрасса + +### Формулировка признака Вейерштрасса + +Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что: +$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$. + +Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$. + +### Доказательство признака Вейерштрасса + +Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum_{k=1}^{n}M_k$. + +Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$. + +Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$: +$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}M_k=T_m-T_n$ + +Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$. + +## Примеры + +1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$. + +Оценим $|f_n(x)|$: +$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$ + +Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. + +2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$. + +Оценим $|f_n(x)|$: +$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$ + +Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md new file mode 100644 index 0000000..a1c7f94 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md @@ -0,0 +1,62 @@ +# Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы ряда. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда. + +## Свойства равномерно сходящихся рядов + +### Непрерывность суммы ряда + +Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ непрерывны на $D$, то сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ также непрерывна на $D$. + +#### Доказательство + +Пусть $\epsilon>0$. По определению равномерной сходимости, существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется: +$|S(x)-S_n(x)|<\frac{\epsilon}{3}$ + +Поскольку $f_n(x)$ непрерывны, то и частичные суммы $S_n(x)$ непрерывны. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется: +$|S_n(x)-S_n(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}$ + +Тогда: +$|S(x)-S(x_0)|\leq|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-S_n(x_0)|+|S_n(x_0)-S(x_0)|<\epsilon$ + +Таким образом, $S(x)$ непрерывна на $D$. + +### Почленное интегрирование + +Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно: +$\int_{D}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$ + +#### Доказательство + +Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд равномерно сходится, то: +$\int_{D}S(x)dx=\int_{D}\lim_{n\to\infty}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{D}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{D}f_k(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$ + +### Почленное дифференцирование + +Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ также равномерно сходится на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно: +$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ + +#### Доказательство + +Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то: +$S'(x)=\lim_{n\to\infty}S_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f_k'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ + +## Примеры + +1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$. + +Оценим $|f_n(x)|$: +$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$ + +Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. + +Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывна. + +2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$. + +Оценим $|f_n(x)|$: +$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$ + +Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. + +Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывна. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md new file mode 100644 index 0000000..543eb86 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md @@ -0,0 +1,60 @@ +# Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости. + +## Введение + +Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. + +## Степенной ряд + +Степенной ряд имеет вид: +$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ +где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. + +## Радиус сходимости + +Радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара: +$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ + +## Интервал сходимости + +Интервал сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно. + +## Промежуток сходимости + +Промежуток сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$. + +## Первая теорема Абеля + +Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$. + +### Формулировка первой теоремы Абеля + +Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$. + +### Доказательство + +Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется: +$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$ + +Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$: +$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ + +Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$. + +## Примеры + +1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. + +Найдем радиус сходимости: +$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$ + +Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. + +2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$. + +Найдем радиус сходимости: +$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$ + +Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md new file mode 100644 index 0000000..ec6613b --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md @@ -0,0 +1,61 @@ +# Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Вторая теорема Абеля. + +## Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда + +### Формулировка теоремы + +Пусть $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$. Тогда: +1. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ абсолютно сходится для всех $|x|0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется: +$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$ + +Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$: +$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ + +Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$. + +## Примеры + +1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. + +Найдем радиус сходимости: +$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$ + +Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ непрерывна на всей числовой прямой. + +2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$. + +Найдем радиус сходимости: +$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$ + +Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-1,1)$, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ непрерывна на интервале $(-1,1)$. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md new file mode 100644 index 0000000..25a0ee8 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md @@ -0,0 +1,47 @@ +# Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда + +## Введение + +Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|R$. + +## Формула Коши-Адамара + +Формула Коши-Адамара позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела: +$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. + +Найдем радиус сходимости: +$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$ + +Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. + +## Формула Даламбера + +Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела: +$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$. + +Найдем радиус сходимости: +$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n!}{(n+1)!}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n+1}\right|=0$ + +Таким образом, ряд сходится только в точке $x=0$. + +## Формула Коши + +Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела: +$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$. + +Найдем радиус сходимости: +$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}=1$ + +Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md new file mode 100644 index 0000000..85426ce --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md @@ -0,0 +1,45 @@ +# Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов + +## Почленное интегрирование степенных рядов + +### Теорема о почленном интегрировании + +Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$: +$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$ + +### Доказательство + +Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд: +$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\int_{a}^{b}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\int_{a}^{b}a_nx^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$ + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. + +Найдем радиус сходимости: +$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$ + +Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно интегрируем ряд на интервале $[0,1]$: +$\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)}=e-1$ + +## Почленное дифференцирование степенных рядов + +### Теорема о почленном дифференцировании + +Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале: +$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_nx^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$ + +### Доказательство + +Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд: +$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\left(a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$ + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. + +Найдем радиус сходимости: +$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$ + +Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно дифференцируем ряд: +$\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$ diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md new file mode 100644 index 0000000..5b3760b --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md @@ -0,0 +1,61 @@ +# Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. + +## Разложение функций в степенные ряды + +Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид: +$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ + +## Ряды Тейлора и Маклорена + +### Ряд Тейлора + +Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид: +$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ + +где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$. + +### Ряд Маклорена + +Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$: +$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ + +### Пример + +Рассмотрим функцию $f(x)=e^x$. + +Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$: +$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ + +## Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора + +### Теорема + +Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется: +$|f^{(n)}(x)|\leq M$ + +для всех $x$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда функция $f(x)$ разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности. + +### Доказательство + +Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора: +$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ + +По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: +$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ + +где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$. + +Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)|\leq M$, то: +$|R_n(x)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$ + +Поскольку $\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\to0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$. + +## Примеры + +1. **Функция $f(x)=\sin(x)$**: +Ряд Маклорена для $f(x)=\sin(x)$: +$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ + +2. **Функция $f(x)=\cos(x)$**: +Ряд Маклорена для $f(x)=\cos(x)$: +$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md new file mode 100644 index 0000000..98ba3fd --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md @@ -0,0 +1,62 @@ +# Разложение элементарных функций в ряд Маклорена + +## Введение + +Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид: +$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$ + +## Разложение элементарных функций + +### Экспоненциальная функция + +Функция $f(x)=e^x$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом: +$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ + +#### Доказательство + +Вычислим производные функции $f(x)=e^x$: +$f^{(n)}(x)=e^x$ + +Таким образом, $f^{(n)}(0)=1$ для всех $n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена: +$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$ + +### Синус + +Функция $f(x)=\sin(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом: +$$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ + +#### Доказательство + +Вычислим производные функции $f(x)=\sin(x)$: +$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x)$ +$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x)$ + +Таким образом, $f^{(2n)}(0)=0$ и $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена: +$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ + +### Косинус + +Функция $f(x)=\cos(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом: +$$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ + +#### Доказательство + +Вычислим производные функции $f(x)=\cos(x)$: +$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\cos(x)$ +$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$ + +Таким образом, $f^{(2n)}(0)=(-1)^n$ и $f^{(2n+1)}(0)=0$. Подставим это в формулу ряда Маклорена: +$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ + +### Логарифм + +Функция $f(x)=\ln(1+x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом: +$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$$ + +#### Доказательство + +Вычислим производные функции $f(x)=\ln(1+x)$: +$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(1+x)^{-n}$ + +Таким образом, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!$. Подставим это в формулу ряда Маклорена: +$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$ \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md new file mode 100644 index 0000000..987fe77 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md @@ -0,0 +1,54 @@ +# Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость + +## Гармонический ряд + +Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: +$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ + +### Сходимость гармонического ряда + +Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: +$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ + +Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как: +$S_n \approx \ln(n) + \gamma$ +где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони. + +Поскольку $\ln(n) \to \infty$ при $n \to \infty$, то и $S_n \to \infty$, что означает расходимость гармонического ряда. + +## Обобщенный гармонический ряд + +Обобщенный гармонический ряд имеет вид: +$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ +где $p$ — положительное число. + +### Сходимость обобщенного гармонического ряда + +Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения $p$: +- Если $p > 1$, то ряд сходится. +- Если $p \leq 1$, то ряд расходится. + +Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл: +$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ + +Для $p > 1$: +$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{p-1}$ + +Для $p \leq 1$: +$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ расходится. + +Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$. + +## Примеры + +1. **Гармонический ряд**: +$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ +Расходится. + +2. **Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$**: +$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ +Сходится, так как $p = 2 > 1$. + +3. **Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$**: +$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ +Расходится, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md new file mode 100644 index 0000000..3f6f19a --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md @@ -0,0 +1,60 @@ +# Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости $2\pi$-периодической функции в ряд Фурье. + +## Введение + +Тригонометрический ряд Фурье — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. + +## Тригонометрический ряд Фурье + +Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид: +$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$ + +где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье. + +## Коэффициенты Фурье + +Коэффициенты Фурье $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами: +$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$ +$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$ + +### Пример + +Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$. + +Вычислим коэффициенты Фурье: +$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0$ +$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)dx=0$ +$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ + +Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: +$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$ + +## Достаточное условие разложимости в ряд Фурье + +### Теорема + +Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, которая является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на интервале $[-\pi,\pi]$. Тогда $f(x)$ разлагается в ряд Фурье, который сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва. + +### Доказательство + +Доказательство этой теоремы основано на теореме Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Дирихле утверждает, что если функция $f(x)$ кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на интервале $[-\pi,\pi]$, то её ряд Фурье сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва. + +## Примеры + +1. **Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$**: +Вычислим коэффициенты Фурье: +$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$ +$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$ +$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\sin(nx)dx=0$ + +Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: +$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$ + +2. **Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-\pi,\pi]$**: +Вычислим коэффициенты Фурье: +$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}$ +$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{4(-1)^n}{n^2}$ +$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0$ + +Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид: +$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$ diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md new file mode 100644 index 0000000..d20e67c --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md @@ -0,0 +1,42 @@ +# Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций + +## Введение + +Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. +## Четные функции + +Четная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=f(-x)$. Ряд Фурье для четной функции содержит только косинусоидальные члены: +$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$ + +где коэффициенты $a_n$ определяются следующими формулами: +$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$ +$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$ + +### Пример + +Рассмотрим четную функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$. + +Вычислим коэффициенты Фурье: +$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$ +$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$ + +Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: +$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$ + +## Нечетные функции + +Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=-f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены: +$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)$ + +где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами: +$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$ + +### Пример + +Рассмотрим нечетную функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$. + +Вычислим коэффициенты Фурье: +$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ + +Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: +$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$ diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md new file mode 100644 index 0000000..1c784db --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md @@ -0,0 +1,41 @@ +# Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода + +## Введение + +Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. + +## Разложение функций произвольного периода + +Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда ряд Фурье для функции $f(x)$ имеет вид: +$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$ + +где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами: +$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$ +$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$ +$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$ + +## Примеры + +### Пример 1: Функция $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$ + +Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$. + +Вычислим коэффициенты Фурье: +$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}xdx=0$ +$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$ +$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$ + +Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: +$f(x)=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$ + +### Пример 2: Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$ + +Рассмотрим функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$. + +Вычислим коэффициенты Фурье: +$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|dx=L$ +$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$ +$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$ + +Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: +$f(x)=\frac{L}{2}+\frac{2L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$ diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md new file mode 100644 index 0000000..7c46b84 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md @@ -0,0 +1,45 @@ +# Разложение в ряд Фурье непериодической функции + +## Введение + +Ряд Фурье обычно используется для разложения периодических функций. Однако, для непериодических функций можно использовать интегральное преобразование Фурье. + +## Интегральное преобразование Фурье + +Интегральное преобразование Фурье функции $f(x)$ определяется следующим образом: +$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$ + +где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$. + +## Обратное преобразование Фурье + +Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$: +$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega$ + +## Примеры + +### Пример 1: Функция $f(x)=e^{-|x|}$ + +Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-|x|}$. + +Вычислим преобразование Фурье: +$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-i\omega x}dx=\int_{-\infty}^{0}e^{x}e^{-i\omega x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-i\omega x}dx$ + +Рассчитаем интегралы: +$F(\omega)=\left[\frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega}\right]_{-\infty}^{0}+\left[\frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+\omega^2}$ + +Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье: +$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^2}e^{i\omega x}d\omega$ + +### Пример 2: Функция $f(x)=e^{-x^2}$ + +Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-x^2}$. + +Вычислим преобразование Фурье: +$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-i\omega x}dx$ + +Используем известный результат: +$F(\omega)=\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ + +Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье: +$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}e^{i\omega x}d\omega$ diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md new file mode 100644 index 0000000..c87bc8b --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md @@ -0,0 +1,46 @@ +# Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения + +## Ряды с неотрицательными членами + +Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде: +$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ +где $ a_n \geq 0 $ для всех $ n $. + +## Признаки сравнения + +Признаки сравнения позволяют определить сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с другим рядом, сходимость которого известна. + +### Первый признак сравнения + +Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряда с неотрицательными членами, и пусть $0 \leq a_n \leq b_n$ для всех $n$. + +- Если ряд $\sum b_n$ сходится, то и ряд $\sum a_n$ сходится. +- Если ряд $\sum a_n$ расходится, то и ряд $\sum b_n$ расходится. + +### Второй признак сравнения (предельный признак сравнения) + +Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряды с положительными членами, и пусть существует предел: +$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$ + +- Если $0 < L < \infty$, то ряды $\sum a_n$ и $\sum b_n$ либо оба сходятся, либо оба расходятся. +- Если $L = 0$ и ряд $\sum b_n$ сходится, то ряд $\sum a_n$ также сходится. +- Если $L = \infty$ и ряд $\sum b_n$ расходится, то ряд $\sum a_n$ также расходится. + +## Примеры + +1. **Сравнение с гармоническим рядом**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$. + +Сравним его с гармоническим рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, который расходится. + +Поскольку $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ для всех $n$, и гармонический ряд расходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится (по первому признаку сравнения). + +2. **Предельный признак сравнения**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$. + +Сравним его с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$. + +Вычислим предел: +$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$$ + +Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ сходится (так как $p = \frac{3}{2} > 1$), то и ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ сходится (по второму признаку сравнения). diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md new file mode 100644 index 0000000..36ee0f5 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md @@ -0,0 +1,45 @@ +# Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов + +## Введение + +Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами. Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши. + +## Признак Даламбера + +Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда. + +Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел: +$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$ + +- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится. +- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится. +- Если $L = 1$, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда. + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$. + +Вычислим предел: +$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$ + +Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ сходится по признаку Даламбера. + +## Признак Коши (корневой признак) + +Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда. + +Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел: +$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$ + +- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится. +- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится. +- Если $L = 1$, то признак Коши не позволяет сделать вывод о сходимости ряда. + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$. + +Вычислим предел: +$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty$ + +Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$ расходится по признаку Коши. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md new file mode 100644 index 0000000..3825091 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md @@ -0,0 +1,48 @@ +# Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов + +## Введение + +Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость знакоположительных рядов, сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции. + +## Формулировка интегрального признака + +Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд: +$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ + +Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл: +$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ + +## Доказательство интегрального признака + +Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n=\int_{1}^{n}f(x)dx$. + +Поскольку $f(x)$ убывает, можно записать неравенства: +$f(k+1)\leq\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq f(k)$ + +Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем: +$\sum_{k=2}^{n}f(k)\leq\int_{1}^{n}f(x)dx\leq\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$ + +Или, что эквивалентно: +$S_n-f(1)\leq I_n\leq S_{n-1}$ + +Если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$. + +Аналогично, если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$. + +## Примеры + +1. **Гармонический ряд**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$. + +Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл: +$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty}=\infty$ + +Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ также расходится. + +2. **Обобщенный гармонический ряд**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$, где $p>1$. + +Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл: +$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\left[-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{p-1}$ + +Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ также сходится при $p>1$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md new file mode 100644 index 0000000..116b1f1 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда. + +## Введение + +Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница. + +## Признак Лейбница + +Признак Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида: +$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ +где $b_n$ — положительные числа. + +Признак Лейбница утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если: +1. $b_n$ убывает, то есть $b_{n+1}\leq b_n$ для всех $n$. +2. $\lim_{n\to\infty}b_n=0$. + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. + +Проверим условия признака Лейбница: +1. $b_n=\frac{1}{n}$ убывает, так как $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ для всех $n$. +2. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$. + +Таким образом, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Лейбница. + +## Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда + +Для сходящегося знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом: +$|R_n|=|S-S_n|\leq b_{n+1}$ +где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда. + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. + +Оценка остатка после $n$ членов: +$|R_n|\leq\frac{1}{n+1}$ + +Таким образом, остаток ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md new file mode 100644 index 0000000..1849755 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md @@ -0,0 +1,43 @@ +# Знакопеременные ряды. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда. + +## Введение + +Знакопеременные ряды — это ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Одним из важных понятий в теории рядов является абсолютная сходимость. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда утверждает, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его обычную сходимость. + +## Абсолютная сходимость + +Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется абсолютно сходящимся, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится. + +## Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда + +Теорема Коши утверждает, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. + +### Формулировка теоремы + +Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — абсолютно сходящийся ряд, то есть $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится. Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ также сходится. + +### Доказательство + +Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ и соответствующие частичные суммы ряда из абсолютных значений $T_n=\sum_{k=1}^{n}|a_k|$. + +Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$. + +Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m-S_n$ для $m>n$: +$|S_m-S_n|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|=T_m-T_n$ + +Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, сходится. + +Таким образом, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. + +## Примеры + +1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$. + +Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле. + +2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. + +Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница. + diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md new file mode 100644 index 0000000..b5c4164 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md @@ -0,0 +1,39 @@ +# Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства + +## Введение + +Абсолютно сходящиеся ряды — это ряды, для которых ряд из абсолютных значений их членов сходится. Абсолютная сходимость является более сильным свойством по сравнению с обычной сходимостью и имеет ряд важных свойств. + +## Определение абсолютной сходимости + +Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется абсолютно сходящимся, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится. + +## Свойства абсолютно сходящихся рядов + +### 1. Абсолютная сходимость влечет за собой обычную сходимость + +Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. Это следует из теоремы Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда. + +### 2. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда + +Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то любая перестановка его членов также сходится и имеет ту же сумму. Это свойство не выполняется для условно сходящихся рядов (рядов, которые сходятся, но не абсолютно). + +### 3. Линейность абсолютной сходимости + +Если ряды $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ абсолютно сходятся, то их линейная комбинация $\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)$ также абсолютно сходится для любых констант $\alpha$ и $\beta$. + +### 4. Произведение абсолютно сходящихся рядов + +Если ряды $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ абсолютно сходятся, то их произведение $\sum_{n=1}^{\infty}c_n$, где $c_n=\sum_{k=1}^{n}a_kb_{n-k}$, также абсолютно сходится. + +## Примеры + +1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$. + +Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле. + +2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$**: +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. + +Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md new file mode 100644 index 0000000..9c36cd8 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md @@ -0,0 +1,60 @@ +# Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана. + +## Введение + +Условно сходящиеся ряды — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости. + +## Условно сходящиеся ряды + +Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ расходится. + +## Признак Дирихле + +Признак Дирихле позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел. + +### Формулировка признака Дирихле + +Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям: +1. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$. +2. $b_n$ монотонно стремится к нулю, то есть $b_n\to0$ и $b_n\geq b_{n+1}$ для всех $n$. + +Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится. + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. + +Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}$ ограничены, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно стремится к нулю. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Дирихле. + +## Признак Абеля + +Признак Абеля является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел. + +### Формулировка признака Абеля + +Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям: +1. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится. +2. $b_n$ монотонно ограничена, то есть существует такое число $M$, что $|b_n|\leq M$ для всех $n$, и $b_n$ монотонна. + +Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится. + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. + +Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}$ сходится по признаку Лейбница. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно ограничена. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Абеля. + +## Теорема Римана + +Теорема Римана утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился. + +### Формулировка теоремы Римана + +Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — условно сходящийся ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд сходится к любому заранее заданному числу или расходится. + +### Пример + +Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. + +Этот ряд условно сходится. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился. + diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md new file mode 100644 index 0000000..3eca7ec --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md @@ -0,0 +1,46 @@ +Тема 1. Числовые, функциональные, степенные ряды, ряды Фурье. +1. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1|Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. ]] +2. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2|Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость. ]] +3. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3| Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. ]] +4. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4|Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов. ]] +5. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5|Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов. ]] +6. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6|Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.]] +7. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7|Знакопеременные ряды. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.]] +8. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8|Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.]] +9. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9|Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана.]] +10. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10|Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.]] +11. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11|Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда.]] +12. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12|Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.]] +13. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13|Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы ряда. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда.]] +14. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14|Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости.]] +15. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15|Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Вторая теорема Абеля.]] +16. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16|Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.]] +17. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17|Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.]] +18. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18|Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.]] +19. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19|Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.]] +20. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20|Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости 2pi-периодической функции в ряд Фурье.]] +21. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21|Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.]] +22. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22|Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.]] +23. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23|Разложение в ряд Фурье непериодической функции.]] +Тема 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы +24. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24|Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.]] +25. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25|Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.]] +26. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26|Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах: сведение двойного интеграла к повторному.]] +27. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/27|Криволинейные координаты на плоскости. Выражение площади в криволинейных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.]] +28. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/28|Тройной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.]] +29. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/29|Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.]] +30. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/30|Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.]] +31. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/31|Геометрические приложения двойных и тройных интегралов: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объемов тел, вычисление площади поверхности.]] +32. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/32|Физические приложения двойных и тройных интегралов: вычисление массы, координат центра тяжести, статических моментов тела в пространстве и плоской пластинки, моментов инерции тела в пространстве.]] +33. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/33|Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода. Криволинейные интегралы первого рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.]] +34. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/34|Приложения криволинейных интегралов первого рода.]] +35. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/35|Криволинейные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.]] +36. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/36|Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла.]] +37. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/37|Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Полный дифференциал. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.]] +38. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/38|Приложения криволинейных интегралов второго рода.]] +39. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/39|Поверхностные интегралы первого рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.]] +40. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/40|Приложения поверхностных интегралов первого рода.]] +41. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41|Поверхностные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.]] +42. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42|Формула Остроградского-Гаусса.]] +43. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/43|Формула Стокса.]] +44. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44|Приложения поверхностных интегралов второго рода.]] \ No newline at end of file