>Производная по направлению. Градиент:

Определение:

Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Производной функции $f(x, y)$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (l_1, l_2)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:

$$
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tl_1, y_0 + tl_2) - f(x_0, y_0)}{t}
$$

Обозначается она следующим образом:

$$
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) \text{ или } \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
$$

Градиентом функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется вектор, составленный из частных производных функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ в точке $(x_0, y_0)$:

$$
\nabla f(x_0, y_0) = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\right)
$$

Свойства производной по направлению и градиента:

1. Линейность производной по направлению:

$$
\frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt}
$$

2. Произведение функций:

$$
\frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt}
$$

3. Частное функций:

$$
\frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)}
$$

4. Связь производной по направлению и градиента:

$$
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
$$

5. Направление максимального увеличения функции:

Направление максимального увеличения функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ задается вектором градиента $\nabla f(x_0, y_0)$.

Примеры:

1. Найти производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$.

Решение:

Найдем частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:

$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$

Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:

$$
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
$$

Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:

$$
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
$$

Найдем производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$:

$$
\frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71
$$

Ответ: $\frac{df}{dt}(1, 2) = 71$.

2. Найти направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.

Решение:

Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:

$$
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
$$

Направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$ задается вектором градиента $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.

Ответ: $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
