# Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.

## Введение

Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.

## Признак Лейбница

Признак Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида:
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$
где $b_n$ — положительные числа.

Признак Лейбница утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если:
1. $b_n$ убывает, то есть $b_{n+1}\leq b_n$ для всех $n$.
2. $\lim_{n\to\infty}b_n=0$.

### Пример

Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.

Проверим условия признака Лейбница:
1. $b_n=\frac{1}{n}$ убывает, так как $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ для всех $n$.
2. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.

Таким образом, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Лейбница.

## Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда

Для сходящегося знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом:
$|R_n|=|S-S_n|\leq b_{n+1}$
где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда.

### Пример

Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.

Оценка остатка после $n$ членов:
$|R_n|\leq\frac{1}{n+1}$

Таким образом, остаток ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$.
