# Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

## Введение

Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид:
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

## Разложение элементарных функций

### Экспоненциальная функция

Функция $f(x)=e^x$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

#### Доказательство

Вычислим производные функции $f(x)=e^x$:
$f^{(n)}(x)=e^x$

Таким образом, $f^{(n)}(0)=1$ для всех $n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$

### Синус

Функция $f(x)=\sin(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
$$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

#### Доказательство

Вычислим производные функции $f(x)=\sin(x)$:
$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x)$

Таким образом, $f^{(2n)}(0)=0$ и $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

### Косинус

Функция $f(x)=\cos(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
$$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

#### Доказательство

Вычислим производные функции $f(x)=\cos(x)$:
$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$

Таким образом, $f^{(2n)}(0)=(-1)^n$ и $f^{(2n+1)}(0)=0$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

### Логарифм

Функция $f(x)=\ln(1+x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$$

#### Доказательство

Вычислим производные функции $f(x)=\ln(1+x)$:
$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(1+x)^{-n}$

Таким образом, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$