# Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов

## Введение

Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами. Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.

## Признак Даламбера

Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда.

Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$

- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
- Если $L = 1$, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.

### Пример

Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$.

Вычислим предел:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ сходится по признаку Даламбера.

## Признак Коши (корневой признак)

Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда.

Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$

- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
- Если $L = 1$, то признак Коши не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.

### Пример

Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$.

Вычислим предел:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty$

Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$ расходится по признаку Коши.
